Activité 3 : LA CIRCONFERENCE DE LA TERRE POUR DEFINIR LE METRE

Avant la Révolution française de 1789, Il existe de nombreuses unités de mesure basé sur le corps humain (pouce, pied, coudée…) qui diffèrent en fonction des régions. Cela complique les échanges commerciaux et scientifiques. Par conséquent, l’Assemblée constituante charge l’Académie des sciences de trouver une nouvelle unité universelle, le mètre, défini par le dix-millionième partie du quart de méridien terrestre. Les scientifiques Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain, astronome et mathématiciens français, sont chargé de déterminer avec rigueur la longueur du méridien terrestre à partir de la mesure précise de la distance Dunkerque -Barcelone.

Comment appliquer la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain ? Et qu’en ont-ils déduit ?

Comment Delambre et Méchain ont-ils déterminé la distance en toises entre Melun et Malvoisine, grâce à la triangulation plane ?

Formule : a/(sin⁡(α)) = b/(sin(β)) = c/(sin(γ))

Formule : α + β + γ = π rad = 180°

1 minute d'arc (') : (1/60)°

1 seconde d'arc (") : (1/3600)°

1 toise : 1,949m

Distance Lieusaint-Melun : 6 075,90 toises

Conversion en degrés :

• Angle Melun : 63°43’34” = 63 + 43/60 + 34/3600 = 63,73°
• Angle Lieusaint : 75°39’29” = 75 + 39/60 + 29/3600 = 75,66°
• Angle Malvoisine : 180 - (63,73 + 75,66) = 40,61°

Conversion en radaians :

• Melun : 63,73 × π/180 = 1,112
• Lieusaint : 75,66 × π/180 = 1,321
• Malvoisine : 40,61 × π/180 = 0,709

Distance Melun-Malvoisine :

• 6 075,90/(sin(0,709)) = c/(sin(1,321))
• c = (6 075,90 × sin(1,321))/(sin(0,709) = 9041,12 toises soit 17 621,15m

Explication de calcul :

Dans un premier temps, Délambre et Méchain ont converti les minutes d'arc et et secondes d'arc en degrés, puis ont calculé l'angle de Malvoisine avec la relation α + β + γ = π rad = 180° et après avoir calculé les angles en radians ils les ont utilisé pour calculé la distance entre Melun et Malvoisine avec la relation b/(sin(β)) = c/(sin(γ).

Comment ont-ils déterminé la longueur en toises du méridien ?

Sachant que la différence d'angle entre Dunkerque et Barcelone vaut α = 9,673 722° , avec une distance de 551 584,72 toises qui leur sépare, Delambre et Méchain ont calculé le méridien de la terre avec la relation :

*Méridien : Le méridien considéré est le cercle imaginaire passant par Barcelone, Dunkerque et les deux pôles.

• D/α = L.méridien/360° → L.méridien = (D × 360°)/α
• L.méridien = ( 551 584,72 × 360°)/9,673 722° = 20 526 794,05 toises

Comment ont-ils déterminé la longueur d’un mètre ?

Le mètre a été défini par le méridien, le mètre était la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre.

• (20 526 794,05/4) × 10^-7 = 0,513 toises soit un mètre.